Potencia de Fracciones

Todas las propiedades que conocemos de las potencias de números enteros pueden aplicarse a la potenciación de números fraccionarios.

 POTENCIA DE UNA FRACCIÓN

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia

POTENCIA DE UN PRODUTO DE FRACCIONES

La potencia de un producto de fracciones es igual al producto de las potencias de los factores.

 PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Para MULTIPLICAR  potencias de la misma base se suman los exponentes.

POTENCIA DE UN COCIENTE DE FRACCIONES

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

 POTENCIA DE EXPONENTE CERO

La potencia de exponente  cero es siempre 1 (para cualquier base distinta de cero).

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO                          

Y de la misma forma:

Una potencia de exponente negativo es la inversa de la misma potencia de exponente positivo.

POTENCIA DE OTRA POTENCIA     

Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.

Regla o Ley de los Signos

Reglas de los Signos

El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números cardinales y los enteros negativos, representados por la letra mayúscula Z.  Esto es,

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Reglas para efectuar operaciones con los números enteros

Suma

Positivo  +  Positivo:  Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.

Ejemplos:    

   8 + 16      = 24

   4 + 21      = 25

Negativo  +  Negativo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.

Ejemplos:

   -15 +  -5        =     -20

   -25 + - 6       =     - 31

Positivo + Negativo  o  Negativo  +  Positivo: Se restan para hallar la diferencia de los valores absolutos de los números.  El resultado es positivo, si el número positivo es el mayor.  El resultado es negativo, si el número negativo es el mayor.

Ejemplos: 

   15 + (-6)       =        9   

    19 + (-1)       =      18

   -18 + 6          =     -12

   -15  +  7        =      -8

           6 + (-6)       =       0

Resta

Cuando se resta números enteros, se cambia la operación de resta a la suma del opuesto.  El número que está siendo restado se llama sustraendo.  El sustraendo es el número que está después del signo de resta.  El signo de resta se reemplaza por el signo de suma y se busca el opuesto del sustraendo.  Luego de transformar el ejercicio de resta a suma, se procede con las reglas de suma de números enteros.  Esto es, si a y b son enteros, entonces,  a – b = a + (- b).

Ejemplos:

   6 – 12    =     6 + (-12)        =   -6

   6 – (-12)  =    6 + 12           =  18

   -2 – (-10) =   -2 + 10           =    8

   -25 – 10  =    -25 + (-10)      =  -35

Multiplicación y División

Signos iguales = positivo   

Ejemplos:

      -4 x -4   =     16     

   -30 / -2   =     15

            3 x 7    =     21       

    16 / 2     =     8

Signos distintos = negativo   

Ejemplos:

  

   -4 x 3     =     -12       

                

                 2 x -7    =     -14   

     

          -20 / 2     =     -10

                                          

                 36 / -2     =     -18

Números Enteros

Números Enteros

El número es un signo que facilita la expresión de una cantidad con relación a la unidad que representa, en tanto, existen diversas clasificaciones que darán lugar a conjuntos diferentes tales como los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6), los números racionales, los números decimales, entre otros.

  

Dentro de los números enteros se incluye a los números naturales, aquellos que empleamos para contar los elementos de un conjunto, al cero y a los números negativos, que son los que resultan de restarle un número natural uno mayor, o sea 4 – 5 = -1. Por tanto, los números enteros serán únicamente aquellos que no tengan una parte decimal, 4,3 no es un número entero sino un número decimal.

Cabe destacar que a los números enteros los obtenemos de operaciones básicas como la suma y la resta y ya desde la antigüedad era usual su empleo; hay registros que datan del siglo VI cuando matemáticos de la India hablaban de ellos y los empleaban.

A los números enteros negativos se los suele emplear en situaciones prácticas y muy concretas como ser: la expresión de una temperatura bajo cero, o sea que es muy fría. En estos momentos en la Antártida están haciendo – 6 grados. Y también los usamos para referir a una profundidad bajo el nivel del mar. El barco hundido fue encontrado a -123 metros.

Potenciacion de Números Naturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

      2 ⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Los elementos que constituyen una potencia son:

La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el4.

Propiedades de las potencias de números naturales

ü Multiplicación de Potencias de igual base

Se coloca la misma base y se suman los exponentes

ü División de Potencias de igual base

Se coloca la misma base y se restan los exponentes

Potencia de otra potencia

Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes

(A^s)^s = A^{s x s} 

Ejemplo

(4³)⁴ = 4^{3 x 4} = 4¹²

Potencia de un producto

La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente

(a . b)^c = 2⁴. 2⁴  

Potencia de un cociente

La potencia de una división de base "a/b" y exponente "n" se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a "n".

Potencia especiales

8⁰= 1

4¹=  4

1⁴=  1

Números Naturales y sus Propiedades

Números Naturales

Se denomina como número natural a aquel número que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales.

Cabe destacarse que estos fueron el primer conjunto de números que utilizaron los seres humanos para contar los objetos.

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y

elemento neutro. 

1.- Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar

largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el

orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el

número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa,

conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una

forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese

contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a

contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo

(las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas

entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman:

• Dividendo (el número de cosas) 
• Divisor (el número de personas)
• Cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y
• Resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.